MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ VE İŞLEVLERİ
Gönderilme zamanı: Sal Nis 14, 2009 11:29 am
MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ
VE
İŞLEVLERİ
Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile gösterilir.
x , R nin elemanıdır ve
x ={x, x > 0 ise
{-x,x < 0 ise
şeklinde tanımlanır.
f(x) ={f(x),f(x) > 0 ise
{-f(x),f(x)< 0 ise
1) Örnek: x =-3 için x-5 - x+2 ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözüm: -3-5 - -3+2 = 8-1=7
2) Örnek: a 0 dır
2) a = -a
3) - a < a a veya x < -a dır.
10) IaI-IbI < Ia+bI
11)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI
12)IaI . IaI = a . a
13)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a
14)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a
15)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a
İSPATLAR
Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0
a > 0 ise IaI = a >0
a < 0 ise IaI = -a >0 dır.
O halde IaI > 0 dır.
Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.
Öz.6)V a elemanıdır R için -IaI < a < IaI
V b elemanıdır R için -IbI 0 durumlarından biri vardır.
a)a < 0 ise IaI = -a dır.
IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır.
-IaI= a 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.
-IaI< 0 < IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.
MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.
Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.
1- 3x-7 = 5 2- 3x-7=-5
3x = 12 3x = 2
x = 4 x = 2/3
Ç={4,2/3}
Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
Çözüm: Ix-7I = 7-x ise
x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir.
O halde 8 tane doğal sayı vardır.
Soru: 5-2x = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
3
Çözüm: 5-2x = 2
3
5-2x/3=2 veya 5-2x/3= -2
5-2x = 6 veya 5-2x = -6
x = -1/2 veya x = 11/2
Ç ={-1/2,11/2}
Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir?
Çözüm: I 4+I2x-3I I = 5
4+I2x-3I = 5 veya 4+I2x-3I = -5
I2x-3I = 1 veya I2x-3I = -9
2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1 Çözüm:O
x = 2 x = 1
O halde x+x = 2+1 = 3 olur.
Uyarı:
Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme (O) olur.
BİRİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ
EŞİTSİZLİKLER
Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7
=4 -7
***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.
Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3
= -1 < Ix-5I < 5
Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.
Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5
= 0 < x < 10
Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.
İKİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ
EŞİTSİZLİKLER
Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm:I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2
= -2+7 < 2x < 2+7
= 5 < 2x < 9
= 5/2 < x < 9/2
Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur.
Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:V x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.
Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?
a) 0