MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ VE İŞLEVLERİ

[hackers_kral]

             

                 MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ
                                     VE
                              İŞLEVLERİ
 
     Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x  ile gösterilir.
      x , R nin elemanıdır ve
       x ={x, x  > 0 ise
            {-x,x < 0 ise
şeklinde tanımlanır.
       f(x) ={f(x),f(x) > 0 ise
                {-f(x),f(x)< 0 ise
 1) Örnek: x =-3 için x-5  -  x+2   ifadesinin eşiti kaçtır?
     
      Çözüm:  -3-5 -  -3+2  = 8-1=7
 2) Örnek: a 0 dır
2) a   =   -a 
3) -  a  < a a veya x < -a dır.

10) IaI-IbI < Ia+bI
  11)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI
  12)IaI . IaI = a . a
  13)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a
  14)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a
  15)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a
 
  İSPATLAR
  Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0
           a > 0 ise IaI = a >0
           a < 0 ise IaI = -a >0 dır.
  O halde IaI > 0 dır.
  Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.
  Öz.6)V a elemanıdır R için  -IaI < a < IaI
           V b elemanıdır R için  -IbI 0 durumlarından biri vardır.
     a)a < 0 ise IaI = -a dır.
     IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır.
     -IaI= a 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.
     -IaI< 0 < IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.
               
              MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
    Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.                                             
    Çözüm:I3x-7I = 5 ise;  3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.
1- 3x-7 = 5            2-  3x-7=-5
   3x = 12                  3x = 2
     x = 4                      x = 2/3
                           Ç={4,2/3}
              
   Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
   Çözüm: Ix-7I = 7-x ise
                 x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir.
                 O halde 8 tane doğal sayı vardır.
 
   Soru:   5-2x    = 2  denkleminin çözüm kümesi nedir ?
                 3
  
   Çözüm:                        5-2x      = 2
                                           3
 
                       
            5-2x/3=2           veya               5-2x/3= -2
                 5-2x = 6       veya          5-2x = -6     
                    x = -1/2     veya        x = 11/2
                              Ç ={-1/2,11/2}
    Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir?
    Çözüm:            I 4+I2x-3I I = 5     
              
          
        4+I2x-3I = 5          veya             4+I2x-3I = -5
         I2x-3I = 1             veya          I2x-3I = -9
      2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1          Çözüm:O  
       x = 2             x = 1
       
           O halde x+x = 2+1 = 3 olur.
      Uyarı:
         Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme  (O) olur.
         BİRİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ                    
                            EŞİTSİZLİKLER
      
    Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
    
    Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7
                                 =4 -7
    ***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.
   
    Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3
                                        = -1 < Ix-5I < 5
                 Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.
                 Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5
                                = 0 < x < 10
      Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.
             İKİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ  
                                 EŞİTSİZLİKLER
   
    Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    Çözüm:I 2x-7 I < 2 =  -2 < 2x-7 < 2
                                   =   -2+7 < 2x < 2+7
                                   =   5 < 2x < 9
                                   =   5/2 < x < 9/2
                 Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur.
    Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
    Çözüm:V x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.
 
    Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?
  
    a) 0