BASİT EŞİTSİZLİKLER
Gönderilme zamanı: Sal Nis 14, 2009 11:37 am
BASİT EŞİTSİZLİKLER
Devirli bir ondalık açılımı olan rasyonel sayılar kümesi ile devirli bir ondalık açılımı olmayan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Reel sayılar kümesini oluşturur.
a < a + 1 < a + 2 şeklindeki ifadelere eşitsizlik ya da reel sayıların sıralaması adı verilir.
a ve b iki reel sayı olsun , a ile b arasında ;
a b şeklinde gösterilir.
REEL SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ
1. Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenirse , ya da her iki yanından aynı sayı çıkarılırsa yön değişmez.
a b a + c > b + c
a – c > b – c
Örneğin ; - 13 < 4 eşitsizliğinin her iki yanından 5 çıkarırsak :
-13 – 5 < 4 – 5 - 18 < - 1 sıralaması elde edilir.
2. a) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir reel sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez.
b) Eşitsizliğin her iki yanı negatif bir reel sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
a > b ve c < 0 ise
a . c ( - 2 ) . ( - 3 ) 18 > 6 şeklinde yön değiştireceğine dikkat ediniz.
Aynı şekilde 18 > 4 eşitsizliğinin her iki yanı ( - 2 ) ile bölünürse yön değişir.
18 > 4 18 - 20 - 1 < - 1
6 20
d ) - 1 < - 1 - 2 > - 3
2 3
e ) - 5 < 7 - 1 < 1
5 7
4. n pozitif tam sayı olmak üzere
Örneğin ;
2 < 5 23 < 53 8 < 125
1 y + a ( Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
x – a > y – a
2 ) x > y ve a > 0 ise x . a > y .a veya x > y
a a
( Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik bozulmaz. )
3 ) x > y ve a < 0 ise x . a < y . a veya x 0 ise x1 ve x2 gibi birbirinden farklı iki farklı reel kök var.
( x1 < x2 ) olsun .
Kökler küçükten büyüğe doğru tabloya yerleştirilir.
Kökler arası a nın işaretinin tersi
Kökler dışı a nın işaretinin aynı
Bunu tablo ile gösterirsek
x - ? x1 x2 + ?
a nın işaretinin a nın işaretinin a nın işaretinin
ax2+ bx +c aynı tersi aynı
2. ? = b2 – 4ac = 0 ise x1 = x2 ( kökler çakışık )
Bu durumda f (x ) = ax2 + bx + c nin işareti f ( x ) in sıfır olduğu değer dışında a ile aynı olur.
Tablo ile gösterirsek
x - ? x1 = x2 + ?
ax2 + bx + c a nın işaretinin a nın işaretinin
aynı aynı
3. ? = b2 – 4ac < 0 ise ax2 + bx +c = 0 denkleminin reel kökü yoktur.
f ( x ) = ax2 + bx +c nin işareti her x sayısı için a nın aynı olur.
Tablo ile gösterirsek
x - ? + ?
ax2 + bx + c a nın işaretinin aynı
ÖRNEK :
x2 – x – 6 ? 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?
ÇÖZÜM :
x2 – x – 6 ? 0
x2 – x – 6 = 0 ise ( x – 3 ) ( x + 3 ) = 0
x = 3 ve x = -2
a = 1 > 0 a nın işareti ( + )
işaret tablosunu yapalım.
x - ? -2 3 + ?
x2 – x – 6 ? 0 + +
Ç . K.
Ç . K. = [- 2 , 3 ] bulunur.
ÖRNEK :
x2 – 3x – 4 ? 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?
ÇÖZÜM :
x2 – 3x – 4 ? 0
x2 – 3x – 4 = 0 ise ( x – 4 ) ( x + 1 ) = 0
x = 4 ve x = -1
a = 1 > 0 anın işareti ( + )
işaret tablosunu yapalım.
x - ? -1 4 + ?
x2+ 3x -4 ? 0 ___
Ç . K Ç . K .
Ç. K. = ( - ? , -1 ] U [ 4 , ? )
Ç. K = R \ ( -1 , 4 ) bulunur.
ÖRNEK :
x2 < 3x + 10 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?
ÇÖZÜM :
x2 < 3x + 10
x2 – 3x – 10 < 0
x2 – 3x – 10 = 0 ise ( x – 5 ) ( x + 2 ) = 0
x = 5 ve x = -2
a = 1 > 0 a nın işareti ( + )
Tablosunu yapalım
x - ? -2 5 +?
x2- 3x – 10 < 0 + +
Ç. K.
Ç. K. : -2 < x < 5
x tamsayılarının toplamı = -1 +0 +1 + 2 + 3 + 4 = 9 bulunur.
ÖRNEK :
2x2 > 13x – 6 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?
ÇÖZÜM :
2x2 > 13x – 6
2x2 – 13x + 6 > 0
2x2 – 13x + 6 = 0 ise ( 2x – 1 ) ( x- 6 ) = 0
x = 1 ve x = 6
2
a = 2 >0 a nın işareti ( + )
İşaret tablosunu yapalım
1
x - ? 2 6 + ?
2x2 – 13x + 6 > 0 __
Ç.K. Ç.K
Ç.K. : - ? < x < 1 V 6 < x < ?
2
x tamsayılarının toplamı
= 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 ..….. + 7 + 8 + 9 + 10 …….
= - 1 – 1 – 3 – 4 – 5 – 6
= - 21 bulunur.
ÖRNEK :
Karesinin 35 eksiği kendisinin 2 katından küçük olan kaç tane doğal sayı vardır ?
ÇÖZÜM :
Sayı x olsun.
Karesinin 35 eksiği = x2 – 35
Kendisinin 2 katı = 2x
x2- 35 0 a nın işareti ( + )
İşaret tablosunu yapalım.
x - ? -5 7 + ?
x2 – 2x – 35 < 0 + +
Ç.K.
Ç. K. : -5 < x < 7
x € N olduğundan
x = { 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } olmak üzere
7 tane doğal sayı vardır.
ÖRNEK :
x2 + ( m + 4 )x + 15 ifadesinin daima 6 dan büyük olmasını sağlayan kaç tane m tamsayısı vardır.
ÇÖZÜM :
Daima ax2 + bx + c > 0 olması için
? < 0 ve a < 0 olmalı .
x2 + ( m + 4 )x + 15 > 6
x2 + ( m + 4 )x + 9 > 0
a = 1 > 0
? = b2 – 4ac = ( m + 4 )2 – 4 . 1 . 9 < 0
( m + 4 )2 – 36 < 0
m2 + 8m – 20 < 0
m2 + 8m – 20 = 0 ise
( m + 10 ) ( m – 2 ) = 0
m = - 10 , m = 2
x -? -10 2 + ?
m2 + 8m – 20