MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ VE İŞLEVLERİ

                              ÖZELLİKLERİ
                                                                                                             
       V a,b elemandır R için
1)  a   > 0 dır
2) a   =   -a 
3) -  a  < a <  a
4)  a.b = a  . b 
5) b= 0 için   a/b   =   a  /  b 
6)  a+b  <   a +  b  (üçgen eşitsizliği)
7) n elemanıdır Z* olmak üzere  a^  = a ^
8) a > 0,x elemanıdır R ve x  < a ise -a <x <a
9) a > 0,x elemanıdır R,  x  > a ise x > a veya x < -a dır.

10) IaI-IbI < Ia+bI
  11)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI
  12)IaI . IaI = a . a
  13)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a
  14)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a
  15)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a
 
  İSPATLAR
  Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0
           a > 0 ise IaI = a >0
           a < 0 ise IaI = -a >0 dır.
  O halde IaI > 0 dır.
  Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.
  Öz.6)V a elemanıdır R için  -IaI < a < IaI
           V b elemanıdır R için  -IbI < b< IbI
                                             +                
                                              -IaI-IbI< a+b<IaI+IbI
  O halde Ia+bI < IaI+IbI dir.
  Öz.7)V a,b elemanıdır R için Ia.bI=IaI.IbI idi.
           Ia^I=Ia.a.a...aI=IaI.IaI.IaI...IaI=IaI^ dir.
                    (n tane)     ( n tane )
  Öz.3)a sayısı için a<0,a=0,a>0 durumlarından biri vardır.
     a)a < 0 ise IaI = -a dır.
     IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır.
     -IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır.
     b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından –IaI < a < IaI dır.
     c)a > 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.
     -IaI< 0 < IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.
               
              MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
    Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.                                             
    Çözüm:I3x-7I = 5 ise;  3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.
1- 3x-7 = 5            2-  3x-7=-5
   3x = 12                  3x = 2
     x = 4                      x = 2/3
                           Ç={4,2/3}
              
   Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
   Çözüm: Ix-7I = 7-x ise
                 x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir.
                 O halde 8 tane doğal sayı vardır.
 
   Soru:   5-2x    = 2  denkleminin çözüm kümesi nedir ?
                 3
  
   Çözüm:                        5-2x      = 2
                                           3
 
                       
            5-2x/3=2           veya               5-2x/3= -2
                 5-2x = 6       veya          5-2x = -6     
                    x = -1/2     veya        x = 11/2
                              Ç ={-1/2,11/2}
    Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir?
    Çözüm:            I 4+I2x-3I I = 5     
              
          
        4+I2x-3I = 5          veya             4+I2x-3I = -5
         I2x-3I = 1             veya          I2x-3I = -9
      2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1          Çözüm:O  
       x = 2             x = 1
       
           O halde x+x = 2+1 = 3 olur.
      Uyarı:
         Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme  (O) olur.
         BİRİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ                    
                            EŞİTSİZLİKLER
      
    Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
    
    Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7
                                 =4<x<10    Ç={5,6,7,8,9}
    Soru:   2x-3    < 2 eşitsizliğini sağlayan tamsayıları bulunuz.
                  2

    Çözüm:  2x-3  < 2 = -2 <2x-3 < 2
                     2                       2      
         
                                  = -4 < 2x-3 < 4
                                  = -4+3 < 2x < 4+3
                                  = -1< 2x < 7
                                  = -1/2 < x < 7/2
                                  Ç={0,1,2,3}
    Soru:I 3x+2 I+9 > 2 eşitsizliğini çözünüz.
    Çözüm:I 3x+2I+9 > 2 = I 3x+2I > -7
    ***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.
   
    Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3
                                        = -1 < Ix-5I < 5
                 Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.
                 Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5
                                = 0 < x < 10
      Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.
             İKİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ  
                                 EŞİTSİZLİKLER
   
    Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    Çözüm:I 2x-7 I < 2 =  -2 < 2x-7 < 2
                                   =   -2+7 < 2x < 2+7
                                   =   5 < 2x < 9
                                   =   5/2 < x < 9/2
                 Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur.
    Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
    Çözüm:V x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.
 
    Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?
  
    a) 0<x<2   b) -2<x<4   c) -1<x<0   d) 0<x<2   e) 2<x<4
    Çözüm: I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9
                                   = -9+3 < 3x < 9+3
                                   = -6 < 3x < 12
                                   = -6/3 < x < 12/3
                                   = -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)
     Soru: 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
     Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3
                                        = 1+2 < x < 3+2
                                        = 3 < x < 5
     Eşitsizliği oluşturan tamsayılar = {3,4,5} tir.

                MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ KARIŞIK 
                                  ALIŞTIRMALAR     
    
     Soru 1: I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
     Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.
            ***  V a elemanıdır R için IaI > 0 dır.
            Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.
     Soru 2:  I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
     Çözüm:                 I Ix-4I –5 I = 10

         Ix-4I-5 =10            veya        Ix-4I-5 = -10
         Ix-4I = 5               veya        Ix-4I = -5
                                                     Ç = {O}
         x-4 = 15 veya x-4 = -15    x = 19 veya x = -14
    Soru 3: I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
      a) -2   b) 0   c) 2   d) 4   e)14

    Çözüm:                     I Ix-1I+5 I = 8

            I Ix-1I+5 I = 8        veya       I Ix-1I+5 = -8
              Ix-1I = 3               veya       Ix-1I = -13
                                                        Ç = {O}
              x-1 = 3   veya  x-1 = -3
              x = 4     veya    x = -2
              x+x = 4+(-2) = 2  ( Cevap C dir.)
    Soru 4: I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
      a) 2   b) 4   c) 8   d) 10   e) 12
    Çözüm:                     I Ix-2I-3 I = 7
                           
                Ix-2I-3 = 7          veya        Ix-2I-3 = -7
                Ix-2I = 10           veya        Ix-2I = -4
                                                        Ç = {O}
                 x-2 = 10  veya  x-2 = -10
                 x = 12    veya  x = -8
                 x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)
    Soru 5: I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?
      a) 4   b) 5   c) 6   d) 7   e) 9
    Çözüm:
                I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I
                                     = I 7-[3-5] I
                                     = I 7-(-2) I
                                     = I 7+2 I
                                     = I 9 I = 9
    Soru 6: I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?
      a) 3,6,-3,-6   b) 4,8,-3,-8   c) 7,9,5   d) 8,-4,6,-2   e) 2,-2
    Çözüm:                     I Ix-2I-5 I

                 Ix-2I-5 = 1        veya         Ix-2I-5 = -1
                    Ix-2I = 6          veya         Ix-2I = 4
         x-2 = 6 veya x-2 = -6           x-2 = 4 veya x-2 = -4
         x = 8            x = -4             x = 6            x = -2
    Soru 7: Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
      a) 13   b) 9   c) 8   d) 7   e) 6      (ÖSS 1999)
    Çözüm: 
                 Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4
                                 = -6 < x < 2     
                Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)
    Soru 8: IxI < 6 olduğuna göre,x-2y+2 = 0 koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?
      a) 7   b) 6   c) 5   d) 4   e) 3       (ÖSS 2000)
    Çözüm:
                 IxI 0 dan küçük olmayacağından IxI 0,1,2,3,4,5,6 olabilir.
            x-2y+2 = 0 koşulunu çift sayılar oluşturur.Bunlar 0,2,4,6 dır.Bu sayılar y yi tamsayı yapar. ( Cevap D dir.)
    Soru 9:
                f(x) =       12              fonksiyonunun en büyük değeri
                           Ix-1I+Ix+3I
nedir?
      a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6
    Çözüm:
              x elemanıdır [-3,1] için f(x) en büyük olur. X = -3 ise,
            
             f(-3) =         12           = 12/4 =3 tür.
                          I-3-1I+I-3+3I
                                                     ( Cevap B dir.)
             

                                KAYNAKÇA
 
  1)Zafer yayınları 9. Sınıf çalışma kitabı
 
  2)Körfez dersaneleri ÖSS konu anlatım kitabı
 
  3)Tumay yayınları matematik seti 1 (ün.haz. ve yard)

  4)Tumay yayınları matematik seti 2 (ün.haz. ve yard)
 
  5)İzmir Özel Fatih Dersanesi üniv.haz.(Sayısal)
  
  6)Ege Sistem dersanesi ÖSS-ÖYS matematik testbank
 
  7)Matematik ders kitabı