BASİT EŞİTSİZLİKLER

 

BASİT EŞİTSİZLİKLER

Devirli bir ondalık açılımı olan rasyonel sayılar kümesi ile devirli bir ondalık açılımı olmayan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Reel sayılar kümesini oluşturur.

a < a + 1 < a + 2 şeklindeki ifadelere eşitsizlik ya da reel sayıların sıralaması adı verilir.

a ve b iki reel sayı olsun , a ile b arasında ;

a < b , a = b , a < b gibi üç farklı durum söz konusudur.
a sayısı , b sayısından küçük ise a < b , a sayısı b sayısından büyük ise a > b şeklinde  gösterilir.

REEL SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ

1.     Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenirse , ya da her iki yanından aynı sayı çıkarılırsa   yön değişmez.

 a < b             a + c <  b + c
                   a – c <  b – c

 a > b                 a + c >  b + c
  a – c >  b –  c
 Örneğin ; - 13 < 4 eşitsizliğinin her iki yanından 5 çıkarırsak :

 -13 – 5 < 4 – 5          - 18 < - 1  sıralaması elde edilir.

2.        a)   Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir reel sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön  değiştirmez.
       b)   Eşitsizliğin her iki yanı negatif bir reel sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön  değiştirir.
     
  a > b ve c < 0 ise
  a . c < b . c ve
  a  <    b    dir.
                  c        c

          Örneğin ; - 6 < - 2 iken her iki taraf ( - 3 ) ile çarpılırsa :

 ( - 6 ) . ( - 3 ) > ( - 2 ) . ( - 3 )       18 > 6  şeklinde yön değiştireceğine dikkat ediniz.

         Aynı şekilde 18 > 4 eşitsizliğinin her iki yanı ( - 2 ) ile bölünürse yön değişir.
                     
  18 > 4              18   <    4
                   -2         -2
     
     -9  <  -2
         

 

3.      a ve b aynı işaretli iki reel sayı ve a > b ise 
                      
               1   <   1     dir.        
  a         b
          Yani ; eşitsizliğin her iki yanı ters çevrilirse eşitsizlik yön değiştirir. a ve b  ters işaretli ise bu sayıların  ters            
          çevrilmesi eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

ÖRNEK :

a )      8 > 3          1  <  1
                    8       3 

b )      2 < 5          1   >  1
                    2       5 

c )      -6 > - 20  - 1  < -  1
   6         20

d )     - 1 < - 1   - 2 > - 3  
           2       3

   e )      - 5 < 7           -  1 < 1
   5    7

4.          n pozitif tam sayı olmak üzere

 
 

Örneğin ;
2 < 5  23  < 53      8 < 125

            1   <   1              1     2  <     1     2
 3        2              3                2

      1   <  1     tür.
                            9       4

5.     n pozitif tam sayı olmak üzere

 

dir.

          
            Örneğin ;
- 4 < - 2    - 4   2 >    - 2   2

     
- 5 < - 3      - 5   3 <   - 3   3   
6.       n  €  Z  n ?  2  olmak üzere
     

dır.

           ( 0, 1 ) aralığındaki sayıların ( basit kesirlerin ) pozitif artan kuvvetleri arttıkça sayı küçülür.

          
           

 

ÖRNEK :

a )              1     3  <       1    2 <  1
                  2    2           2

b )              3    2    >        3    3
       7                    7     

c )              2     a   >        2    b a  <  b
                  5                    5

7.
 
       dir.

8.           a  <    b
                  +  c  < +  d
                a + c <   b + d      dir.      
                
                (aynı yönlü eşitsizlikler alt alta toplanabilirler . )

ÖRNEK :

a )              x < 5  ve  5 < y  ise  x < y    dir.

b )             - 11  <     2
                 +  2   <  +  5
                  - 9   <     7    

c )               a  ve  b  reel sayı olmak üzere
                   a < b < 8  ise        a   <   8
                                            +  b   <   8
                 a  +  b  <  16         olur.
9.   a , b , c , d pozitif reel sayılar olmak üzere ;
  a  >  b
  c  >  d  ise  a . c > b . d  dir.

              Örneğin ;
2  <  3
                    x  4  <  5  
                   2 . 4  <  3 . 5                     8 < 15    olur.

                                                                                                        

REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI :

1.        Kapalı Aralık :
 
a ve b  reel sayılar olsun.
   a ? b x ? b eşitsizliğini sağlayan x reel sayıları içine alan küme [ a , b ] şeklinde gösterilir  ve böyle aralıklara kapalı                                           aralık  denir.
                                R
                             a             b
  
   2.       Açık Aralık :

   a , b  €  R    ve a < b  olsun
    a < x < b eşitsizliğini sağlayan x reel sayılarının  kümesi ( a , b ) şeklinde gösterilir ve böyle aralıklara açık aralık denir.
     ( a , b ) açık aralığında a ve b uç noktalarının kümeye ait olmadığına dikkat ediniz.
                                                   R
                             a                 b
     [ a , b ) ve ( a , b ] şeklinde gösterilen aralıklara yarı açık aralıklar denir.
   

 
ÖRNEK :
 x  ve  y  reel sayılardır.
      - 5 < x < 3
      - 2 < y < 9  olduğuna göre 
       a )     4x – 3y ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük tamsayı değerleri kaçtır?
       b )     x2  ile y2  nin en geniş değerler aralığı nedir?
       c )      x . y nin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerleri nelerdir?
     ÇÖZÜM:
  x  ve  y nin reel sayılar olarak verildiğine dikkat edilmelidir.
a )        4x – 3y ifadesini elde edebilmek için ;
            -5 < x < 3 eşitsizliğinin her üç yanını 4 ile
            -2 < y < 9 eşitsizliğini de -3 ile çarpalım ve alt alta toplayalım.
            -5 < x < 3       -20 < 4x < 12
                  -2 < y < 9        6 > -3y > -27
                                                  -27 < -3y < 6
                 -20 < 4x  < 12
     +     -27 < -3y < 6
                -47 < 4x-3y < 18      olur.
                 O halde 4x  -  3y  nin alabileceği en küçük tamsayı değeri -46, en büyük tamsayı değeri 17 olur.
     b )        -5 < x < 3          0 ?  x2 < ( -5 )2
                                  0 ? x2 < 25
          -2 < y < 9  0 ? y2 < 92
        0 < y2 < 81     olur.

    

 

 

 

  
 

 

c )           -5 < x < 3
               -2 < y < 9  eşitsizlikleri alt alta çarpılmaz . Çünkü dört sınırında pozitif sayı olması gerekir.
                Böyle hallerde x . y nin alt ve üst sınırlarını bulmak için alt alta ve çapraz olarak çarpmalar yapılır. Elde
edilen  sonuçların en küçüğü alt sınır , en büyüğü de üst sınır olarak alınır.
                
               ( -5 ) . ( -2 ) =  10
                           3 . 9 =  27   * -45 < x . y < 27  olur.
                     ( -5 ) . 9 = -45   *
                     ( 3 ) . -2 = -6 
                
               O  halde x . y nin en küçük tamsayı değeri -44 , en büyük tamsayı değeri 26 olur

    ÖRNEKLER :
   Örnek  : 
          2 < x < 3   ve  -1 < y < 2 olmak üzere , 2x – y  ifadesinin alabileceği tamsayı değerlerin toplamını  bulalım.
      Çözüm   :
            2 < x < 3             2 . ( 2 < x < 3 )      4 < 2x < 6
          -1 < y < 2  -1 . ( -1 < y < 2 )  +  -2 < -y < -1
      2 < 2x < -y < 7     olur.

          2x –y   sayısı   3 , 4 , 5 , 6  tamsayı değerlerini alabilir.
          Bunların toplamı , 3 + 4 + 5 + 6 = 18 dir.

    Örnek  :
           a . b2 < 0 ,  a . c > 0  ve  b3  < 0 olduğuna göre , sırasıyla a , b , c sayılarının işaretlerini bulunuz.
                                                 c5
    Çözüm :    
             a . b2 < 0  ise   a  ile b2 ters işaretlidir.
             b2 > 0 olduğuna göre, a < 0  dır ……..*
             a . c > 0 ise   a  ile  c aynı işaretlidir.
             a < 0   olduğuna göre, c < 0  dır…..*
             b3 < 0  ise    b3 ile  c5 ters işaretlidir.
             c5
             c < 0 olduğu için c5 < 0 olacağından b3 > 0 olmalıdır.
             b3 > 0 olduğuna göre , b >0  dır …….*           
            O halde a , b , c sayılarının işaretleri sırasıyla  - , + ,- dir.

 
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
   a € R  ve  a ? 0 olmak üzere ax + b > 0 ,
   ax + b ? 0 ,   ax + b < 0  , ax + b ? 0 şeklindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.
   Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak demek , verilen eşitsizliği sağlayan x reel sayılarını bulmak demektir. Aksi
   belirtilmedikçe  eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayıların bir alt kümesidir.
 
   ÖZELLİKLER :
  1 )     x > y  ise                
           x + a > y + a                      ( Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
           x – a > y – a  

   2 )     x > y  ve  a > 0   ise     x . a > y .a    veya   x  >  y  
       a      a
            ( Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik bozulmaz. )

   3 )     x > y  ve  a < 0   ise     x . a < y . a    veya   x  <  y
        a      a
            ( Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. )

f ( x ) = ax + b İKİ TERİMLİSİNİN İŞARET TABLOSU
   
    

 

                                                                    - b
                               x     - ?                            a                           + ? 
 
                        ax + b    a nın işaretinin tersi         a nın işaretinin aynı  

 Örnek  :
         
          3x – 7  ? 2x – 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?
 
 Çözüm 1   :
       
           3x – 7 ?  2x – 3
           3x – 2x ?  -3 + 7
           x ? 4
           Ç. K. (-? , 4 )
 
 Çözüm 2  :
        
          3x – 7 ? 2x – 3
          3x – 7 – 2x + 3 ?  0
          x – 4 ?  0
          x – 4 = 0   ise   x = 4
   
                        x      - ?                                4                             + ?

               x – 4 ?  0               ¬__                                     +

                                       çözüm aralığı
             
              Ç.K = (- ?  ,   + ?    )     bulunur.
   
 

 

 Örnek  :       
         
             ( x + 5 ) ( x – 3  ) ? ( x + 2 ) ( x + 1 )
            eşitsizliğini sağlayan en büyük x tamsayısı kaçtır ?
   Çözüm    :              
          
            ( x + 5 ) ( x – 3 ) ?  ( x + 2 ) ( x + 1 )
            x2 – 3 x + 5x – 15 ? x2 + x + 2x + 2
            x2 + 2x – 15 ?  x2 + 3x + 2
-15 – 2  ? 3x – 2x
x ? - 17
En büyük x tamsayısı = - 17   bulunur.
  
   Örnek    : 
  
1  ?  2x – 5  < 3  eşitsizliğini sağlayan x  tamsayılarının toplamı kaçtır ?
                          3
    Çözüm      :
 
 -1 ? 2x -5 < 3  ( Her tarafı 3 ile çarpalım . )
            3
  -3 ?  2x – 5 < 9  ( Her tarafa  +5 ilave edelim .)
  -3 + 5 ?  2x – 5 + 5 < 9 + 5
   2 ?  2x < 14  ( Her tarafı 2 ye bölelim )
   1 ?  x  <7 
  
    x tamsayılarının toplamı  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6  =   21  bulunur.

 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER :
 
     a , b , c  € R  ve  a  ?  olmak üzere 
     ax2 + bx  + c  > 0  ,          ax2 + bx + c ? 0
     ax2 + bx  + c  < 0  ,          ax2 + bx + c ? 0
    
     şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Çözüm kümesi bulunurken  :
    Önce ax2 + bx + c = 0  denkleminin reel köklerinin olup olmadığına bakacağız.
     Köklerin varlığı ; ? = b2 – 4ac  ya bağlı olduğundan 3 madde halinde inceleyeceğiz.
   
  1.     ? = b2 – 4ac > 0  ise x1 ve x2 gibi birbirinden farklı iki farklı reel kök var.
              ( x1 < x2 )  olsun .
               Kökler küçükten büyüğe doğru tabloya yerleştirilir.
               Kökler arası  a  nın   işaretinin tersi
               Kökler  dışı   a  nın   işaretinin  aynı
               Bunu tablo ile gösterirsek
 
                          x       - ?                    x1                          x2                         + ?
                                    a  nın işaretinin        a nın  işaretinin           a nın işaretinin
              ax2+ bx +c           aynı                        tersi                          aynı

2.       ? = b2 – 4ac = 0 ise x1 = x2 ( kökler çakışık )
           Bu durumda f (x ) = ax2 + bx + c nin işareti  f ( x ) in sıfır olduğu değer dışında a ile aynı olur.
          Tablo ile gösterirsek
         
                            x      - ?                x1 = x2                               + ? 

           ax2 + bx + c      a nın işaretinin            a nın işaretinin
                                           aynı                         aynı   

3.       ? = b2 – 4ac < 0  ise ax2 + bx +c  = 0 denkleminin reel kökü yoktur.
          f ( x ) = ax2 + bx +c nin işareti her x sayısı için a  nın aynı olur.
          Tablo ile gösterirsek

                                  x     - ?                           + ? 
                 ax2 + bx + c         a  nın  işaretinin aynı

   

                                                               

 

 

      

 

 
 
ÖRNEK    :
                                x2 – x – 6 ?  0  eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?
ÇÖZÜM   :
               x2 – x – 6  ?  0 
               x2 – x – 6  =  0  ise  ( x – 3 ) ( x + 3 )  =  0
                                               x  =  3   ve   x  =  -2
                a = 1 > 0   a nın  işareti  ( + )
                işaret tablosunu yapalım.

                                     x     - ?             -2                     3                      + ?
                                                                                             
                 x2 – x – 6 ? 0              +                            +       
          
                                                                   Ç . K.                                       

             Ç . K.  =  [- 2 , 3 ] bulunur.
 
ÖRNEK   :   
           
             x2 – 3x – 4  ?  0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?
 
 ÇÖZÜM    :

             x2 – 3x – 4  ?  0
             x2 – 3x – 4  =  0    ise  ( x – 4 ) ( x + 1 ) = 0
                                                  x = 4      ve     x = -1
            
            a = 1 > 0  anın işareti ( + )
            işaret tablosunu yapalım.

             
                            x      - ?            -1                      4                                               + ?
 
            x2+ 3x -4 ? 0                                                  ___

                                        Ç . K   Ç . K .

             
               Ç. K. = ( - ? , -1 ] U [ 4 , ? ) 
               Ç. K  = R \ ( -1 , 4 )  bulunur.

 ÖRNEK     : 
            
              x2 < 3x + 10 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?
 
  ÇÖZÜM     :
             
              x2 < 3x + 10
              x2 – 3x – 10 < 0
              x2 – 3x – 10 = 0    ise    ( x – 5 ) ( x + 2 )  =  0
                                                      x =  5    ve    x =  -2

              a =  1 > 0  a nın işareti   ( + )
              Tablosunu yapalım

                        x       - ?                  -2                          5                          +?

      x2- 3x – 10 < 0            +                                                             +

                                                                   Ç. K.

      Ç. K. :  -2 < x < 5
       x tamsayılarının toplamı  =  -1 +0 +1 + 2 + 3 + 4 = 9   bulunur.

 

ÖRNEK   :    
             2x2 > 13x – 6  eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?  

ÇÖZÜM   :
            
              2x2 > 13x – 6
              2x2 – 13x + 6 > 0
              2x2 – 13x + 6 = 0  ise  ( 2x – 1 ) ( x- 6 ) = 0
                                                   x = 1    ve   x = 6         
                                                         2
              a = 2 >0  a nın işareti ( + )
              İşaret tablosunu yapalım

                                                                     1
                                    x        - ?                  2                            6                      + ?

             2x2 – 13x + 6 > 0                                          __                           
 
                                                Ç.K.                                         Ç.K
           Ç.K. :   - ? < x < 1   V   6 < x < ?       
                                       2
            x  tamsayılarının toplamı 
                      =  0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 ..…..  + 7 + 8 + 9 + 10 …….
                      = - 1 – 1 – 3 – 4 – 5 – 6
                      = - 21       bulunur.
 ÖRNEK     :
          Karesinin 35 eksiği kendisinin 2 katından küçük olan kaç tane doğal sayı vardır ?
ÇÖZÜM     :
             Sayı x olsun.
             Karesinin 35 eksiği = x2 – 35
             Kendisinin 2 katı     = 2x
             x2- 35  <  2x
             x2 – 2x – 35 < 0
             x2 – 2x – 35 = 0       ise     ( x – 7 ) ( x + 5 ) = 0
                                                          x =  7  ve  x =  -5
             a = 1 > 0    a nın işareti  ( + )
             İşaret tablosunu yapalım.
 

                                    x      - ?          -5                     7                        + ?  

             x2 – 2x – 35 < 0           +                                               +

                                                                     Ç.K.
 
              Ç. K. : -5 < x < 7
              x € N olduğundan
              x = { 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }  olmak üzere
              7  tane doğal sayı vardır.

ÖRNEK   :

              x2 + ( m + 4 )x + 15 ifadesinin daima 6 dan büyük olmasını sağlayan kaç tane m tamsayısı vardır.

 ÇÖZÜM   : 

               Daima ax2 + bx + c > 0  olması için
                           ? < 0   ve   a < 0   olmalı .
                x2 + ( m + 4 )x + 15 > 6
                x2 + ( m + 4 )x + 9 > 0
                a = 1 > 0
                ? = b2 – 4ac = ( m + 4 )2 – 4 . 1 . 9 < 0
                                        ( m + 4 )2 – 36 < 0
                                         m2 + 8m – 20  < 0    
                                         m2 + 8m – 20  = 0      ise
                                         ( m + 10 ) ( m – 2 ) = 0
                                         m = - 10 ,   m = 2  
     
                
                                  x      -?               -10                       2                                    + ?
                                         
           m2 + 8m – 20 <0            +                                                     +      
                                             
                                                                       Ç.K.

         Ç.K.  = -10 < m < 2
          m tamsayıları  : 2 – ( - 10 ) – 1 = 2 + 10 – 1
                                                         =  11   tanedir .
     
  
            

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK     :
            
            x € R için
            ( 1 – a ) x2 +  x – 4 < 0  ise  a ne olmalıdır ?
            
ÇÖZÜM     :
           
             x € R olduğu için  ( 1 – a ) x2 + x – 4 < 0 olması için,
                                 1.     1- a < 0               1 < a  olmalıdır.
                                 2.     ? = b2 – 4ac < 0   olmalıdır
             ( 1 ) 2 – 4 . ( 1 – a ) . ( - 4 ) < 0 
              1 + 16 – 16a < 0              
              17 < 16a
              17  <  a     bulunur.                                  
              16            

ÇARPIM VE BÖLÜM BİÇİMİNDEKİ EŞİTSİZLİKLER

   f ( x ) = P ( x ) . Q ( x ) . R ( x )  veya
 
   f ( x ) = P ( x ) . Q ( x )
             R ( x )
 
   f ( x ) > 0 , f ( x ) ? 0 , f ( x ) < 0 , f ( x ) ? 0   eşitsizliklerinin çözümünde  :

 KURAL   :
           1.     En büyük dereceli terimlerin işaretleri çarpılır.
              2.       Kökler bulunur, küçükten büyüğe doğru tabloya yerleştirilir.
              3.       Tablo sağdan (+ ? tarafından ) 1. birinci kuralda bulunan işaretle başlar. Tek katlı köklerde işaret
                        değiştirilir , çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden geçilir. 
                        [  Tek katlı kök : aynı kökten  1 , 3 , 5 , 7 …..  gibi tek sayıda varsa
                           Çift katlı kök :  aynı kökten 2 , 4 , 6 , 8 …..  gibi  çift sayıda varsa   ]

             NOT :

             Çift katlı kök  x = a  ise  tabloda
 
                                                         a

 

                    şeklinde göstermekte yarar vardır.
 
            

 

 

       NOT    :
 
             Paydanın kökü x = b ise tabloda

              &nb